Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Скалярные произведения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Наоборот, если базис {e1, ..., en} фиксирован, а G - любая матрица размера над , то отображение (или в полуторалинейном случае) определяет скалярное произведение на L с матрицей G в этом базисе, как показывают очевидные проверки. Таким образом, наша конструкция устанавливает биекцию между скалярными произведениями (билинейными или полуторалинейными) на n-мерном пространстве с базисом и матрицами размера .

Выясним, как меняется G при замене базиса. Пусть A - матрица перехода к штрихованному базису. В координатах: , где - столбец координат вектора в старом базисе, а - столбец его же координат в новом. Тогда в билинейном случае

так что матрица Грама штрихованного базиса равна AtGA. Аналогично, в полуторалинейном случае она равна .

В разделе Линейные пространства и линейные отображения матрицы служили нам в основном для записи линейных отображений, и интересно выяснить, нет ли естественного линейного отображения, связанного с g и отвечающего матрице Грама G. Оно действительно существует, и его конструкция дает равносильный способ задания скалярного произведения.

б) Пусть - скалярное произведение. Поставим в соответствие каждому вектору функцию , для которой

Эта функция линейна по m в билинейном случае и антилинейна в полуторалинейном, т. е. или соответственно для каждого l.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник