Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Скалярные произведения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Общие полилинейные отображения будут рассмотрены в разделе, посвященном тензорной алгебре. В данном разделе займемся важнейшим для приложений классом билинейных функций , а также, при = C, функций , где - пространство, комплексно сопряженное с L (см. Комплексификация и овеществление). Каждая такая функция называется также скалярным произведением или метрикой, на пространстве L, и пара (L, скалярное произведение) рассматривается как единый геометрический объект. Изучаемые в этом разделе метрики лишь в специальных случаях являются метриками в смысле определения п. 1.

Скалярное произведение чаще всего рассматривают как полуторалинейное отображение , линейное по первому агрументу и полулинейное по второму: .

2. Способы задания скалярного произведения. а) Пусть (или ) - некоторое скалярное произведение на конечномерном пространстве L. Выберем базис {e1, ..., en} в L и определим матрицу

G = (g(ei, ej)); i, j = 1, ..., n.

Она называется матрицей Грама базиса {e1, ..., en} относительно g, а также матрицей g в базисе {e1, ..., en}. Задание {ei} и G вполне определяет g, потому что в силу свойства билинейности

В случае полуторалинейной формы аналогичная формула приобретает вид


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник