Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Скалярные произведения / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Ясно поэтому, что одномерные симплектические пространства не могут быть строительным материалом для конструкции общих симплектических пространств, и нужно пойти по крайней мере на шаг дальше.

10. Двумерные симплектические пространства. Пусть (L, g) - двумерное пространство с кососимметрической формой g над полем характеристики . Если форма g вырождена, то она автоматически нулевая. В самом деле, пусть - такой вектор, что g(l, m) = 0, для всех . Дополним l до базиса {l, l'} в L и учтем, что g(l', l') = g(l, l) = 0 по предыдущему пункту. Тогда для любых имеем

g(al + a'l', bl + b'l') = abg(l, l) + ab'g(l, l') - a'bg(l, l') + bb'g(l', l') = 0.

Пусть теперь g ненулевая и, значит, невырожденная. Тогда существует пара векторов e1, e2 с и даже с a = 1: g(a -1e1, e2) = a -1a = 1.

Пусть g(e1, e2) = 1. Тогда векторы e1, e2 линейно независимы и, значит, образуют базис L: если, скажем, e1 = ae2, то g(ae2, e2) = ag(e2, e2) = 0. В координатах относительно такого базиса скалярное произведение g записывается в виде

g(x1e1 + x2e2, y1e1 + y2e2) = x1y2 - x2y1

и имеет матрицу Грама

Окончательно, получаем:

Над полем характеристики любое двумерное симплектическое пространство изометрично координатному пространству 2 со скалярным произведением x1y2 - x2y1 или 0.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник