Ясно поэтому, что одномерные симплектические пространства не могут быть строительным материалом для конструкции общих симплектических пространств, и нужно пойти по крайней мере на шаг дальше.

10. Двумерные симплектические пространства. Пусть (L, g) - двумерное пространство с кососимметрической формой g над полем характеристики . Если форма g вырождена, то она автоматически нулевая. В самом деле, пусть - такой вектор, что g(l, m) = 0, для всех . Дополним l до базиса {l, l'} в L и учтем, что g(l', l') = g(l, l) = 0 по предыдущему пункту. Тогда для любых имеем

g(al + a'l', bl + b'l') = abg(l, l) + ab'g(l, l') - a'bg(l, l') + bb'g(l', l') = 0.

Пусть теперь g ненулевая и, значит, невырожденная. Тогда существует пара векторов e₁, e₂ с и даже с a = 1: g(a ^-1e₁, e₂) = a ^-1a = 1.

Пусть g(e₁, e₂) = 1. Тогда векторы e₁, e₂ линейно независимы и, значит, образуют базис L: если, скажем, e₁ = ae₂, то g(ae₂, e₂) = ag(e₂, e₂) = 0. В координатах относительно такого базиса скалярное произведение g записывается в виде

g(x₁e₁ + x₂e₂, y₁e₁ + y₂e₂) = x₁y₂ - x₂y₁

и имеет матрицу Грама

Окончательно, получаем:

Над полем характеристики любое двумерное симплектическое пространство изометрично координатному пространству ² со скалярным произведением x₁y₂ - x₂y₁ или 0.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-