Можно доказать, что в конечномерном случае они сходятся при достаточно малых . В бесконечномерном случае они могут расходиться; тем не менее несколько первых членов часто приводят к предсказаниям, хорошо согласующимся с экспериментом. Физическая роль рядов теории возмущений в квантовой теории поля очень велика. Их математическое исследование приводит к многим интересным и важным задачам.

г) Кратные собственные значения и геометрия. В наших предыдущих вычислениях запрет на кратное собственное значение проистекал из желания обратить на и формально выражался в появлении разностей в знаменателях. Можно получить формулы и в общем случае, надлежащим образом изменив рассуждения, но ограничимся разбором геометрических эффектов кратности. Они видны на типичном случае H₀ = id: все собственные значения равны единице. Малое изменение H₀ приводит к следующим эффектам.

Собственные значения становятся разными, если это изменение достаточно общее: этот эффект в физике называется "расщеплением уровней", или "снятием вырождения". Например, одна спектральная линия может расщепиться на две или больше либо при увеличении разрешения прибора, либо при помещении системы во внешнее поле. Математическая модель в обоих случаях будет состоять в учете малой поправки к H₀, ранее неучтенной (впрочем, иногда и в изменении исходного пространства состояний).

Теперь обдумаем, что может происходить с собственными векторами. В полностью выроженном случае H₀ диагонализируется в любом ортобазисе. Малое изменение H₀, снимающее вырождение, означает выбор ортобазиса, вдоль осей которого происходят растяжения, и коэффициентов этих растяжений. Коэффициенты должны мало отличаться от исходного , но сами оси могут идти в любых направлениях. Таким образом, вблизи вырожденного собственного значения его собственные направления начинают зависеть от возмущения очень сильно. Два сколь угодно малых возмущения единичного оператора с простым спектром могут диагонализироваться в двух фиксированных и жестко повернутых друг от друга ортобазисах. Это показывает внутреннюю причину появления разностей в знаменателях.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-