Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


14. Ориентация вещественных линейных пространств. Пусть L - конечномерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Два упорядоченных базиса {ei} и в нем всегда одинаково расположены в том смысле, что имеется единственный линейный изоморфизм , переводящий ei в . Поставим более тонкий вопрос: когда можно перевести базис {ei} в базис непрерывным движением, или деформацией, т. е. найти такое семейство линейных изоморфизмов, непрерывно зависящее от параметра , что f0 = id, для всех i? (Непрерывно зависеть от t должны просто элементы матрицы f в каком-нибудь из базисов.) Для этого имеется очевидное необходимое условие: поскольку при изменении t определитель fi меняется непрерывно и не проходит через нуль, знак def ft должен совпадать со знаком det f0 = 1, т. е. det ft > 0.

Верно и обратное утверждение: если определитель матрицы перехода от базиса {ei} к базису положителен, то {ei} можно перевести в непрерывным движением.

Это утверждение, очевидно, можно сформулировать иначе: любую вещественную матрицу с положительным определителем можно соединить с единичной матрицей непрерывной кривой, состоящей из невырожденных матриц (множество вещественных невырожденных матриц с положительным определителем связно). Чтобы перейти от языка базисов к языку матриц, достаточно работать не с парой базисов {ei}, {fi(ei)}, а с матрицей перехода от первого ко второму.

Докажем это утверждение, разбив его на серию шагов.

а) Пусть A = B1 ... Bn, где A, Bi - матрицы с положительными определителями. Если все Bj можно соединить с E непрерывной кривой, то это верно и для A.

Действительно, пусть Bj(t) - такие непрерывные кривые в пространстве невырожденных матриц, что Bj(0) = Bj, Bj(1) = E. Тогда кривая A(t) = B1(t) ... Bn(t) соединяет A с E.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник