10. Примеры: а) В конечномерном пространстве L последовательность векторов l₁, ..., l_n, ... сходится к вектору l тогда и только тогда, когда в некотором (и потому в любом) базисе последовательность i-х координат векторов l сходится к i-й координате вектора l, т. е. если f(l₁), ..., f(l_n), ... сходится для любого линейного функционала . Последнее условие можно перенести на бесконечномерные пространства, потребовав сходимость f(l_i) лишь для ограниченных функционалов f. Это приводит, вообще говоря, к новой топологии на L, называемой слабой топологией.

б) Пусть L - пространство вещественных дифференцируемых функций на [0, 1] с нормой . Тогда оператор умножения на t ограничен, т. к. , а оператор неограничен. В самом деле, для любого целого функция лежит на единичной сфере, а норма ее производной равна при .

11. Теорема. Пусть - ограниченные линейные отображения нормированных пространств. Тогда их композиция ограничена и

Доказательство. Если и для всех , то

откуда, переходя к нижним граням, получаем требуемое утверждение.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-