Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Нормированные линейные пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


10. Примеры: а) В конечномерном пространстве L последовательность векторов l1, ..., ln, ... сходится к вектору l тогда и только тогда, когда в некотором (и потому в любом) базисе последовательность i-х координат векторов l сходится к i-й координате вектора l, т. е. если f(l1), ..., f(ln), ... сходится для любого линейного функционала . Последнее условие можно перенести на бесконечномерные пространства, потребовав сходимость f(li) лишь для ограниченных функционалов f. Это приводит, вообще говоря, к новой топологии на L, называемой слабой топологией.

б) Пусть L - пространство вещественных дифференцируемых функций на [0, 1] с нормой . Тогда оператор умножения на t ограничен, т. к. , а оператор неограничен. В самом деле, для любого целого функция лежит на единичной сфере, а норма ее производной равна при .

11. Теорема. Пусть - ограниченные линейные отображения нормированных пространств. Тогда их композиция ограничена и

Доказательство. Если и для всех , то

откуда, переходя к нижним граням, получаем требуемое утверждение.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник