Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Нормированные линейные пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


7. Теорема. Любые две нормы и на конечномерном пространстве L эквивалентны в том смысле, что существуют положительные константы с условием

для всех . В частности, топологии, т. е. понятия сходимости, отвечающие любым двум нормам совпадают, и все конечномерные нормированные пространства банаховы.

Доказательство. Выберем базис в L и рассмотрим естественную норму относительно координат в этом базисе. Достаточно проверить, что любая норма эквивалентна этой. Ее ограничение на единичную сферу нормы является неприрывной функцией координат , принимающей лишь положительные значения (непрерывность следует из неравенства треугольника).

Следовательно, эта функция отграничена от нуля константой c > 0 и ограничена константой c' > 0 по теореме Больцано-Вейерштрасса (единичная сфера S для замкнута и ограничена). Из неравентсва для всех следует неравенство для всех . Поскольку L полно в топологии, отвечающей норме , и понятия сходимости для эквивалентных норм совпадают, L полно в любой норме.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник