Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Нормированные линейные пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Будем называть кругами (соответственно окружностями) в одномерном пространстве L шары (соответственно сферы) ненулевого радиуса с центром в нуле относительно любой из норм. Как следует из предыдущего рассуждения, множества всех кругов и окружностей в L не зависят от выбора исходной нормы. Вместо задания любой нормы можно указать ее единичный круг B или единичную окружность S: S восстанавливается по B как граница B, а B восстанавливается по S как множество точек вида . Заметим, что при = R круги суть отрезки с центром в нуле, а окружности - пары точек, симметричные относительно нуля.

Чтобы перенести это описание на пространства любой размерности, необходимо ввести понятие выпуклости. Подмножество называется выпуклым, если для любых двух векторов и для любого числа вектор al1 + (1 - a)l2 лежит в E. Это согласуется с обычным определением выпуклости в R2 и R3: вместе с любыми двумя точками ("концами векторов l1 и l2") множество E должно содержать весь соединяющий их отрезок ("концы векторов al1 + (1 - a)l2").

Пусть - некоторая норма на L. Положим . Ограничение на любое линейное пространство индуцирует норму на L0. Отсюда следует, что для любого одномерного пространства множество является кругом в L0, а множество - окружностью в смысле данного выше определения. Кроме того, из неравенства треугольника следует, что если , , то

т. е. , так что B - выпуклое множество.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник