Доказательство.

Равенство достигается лишь при (l₁, l₂) = | l₁ | | l₂ |.

Дадим теперь физические интерпретации этих фактов.

7. "Парадокс близнецов". Времениподобные векторы l₁, l₂ с назовем одинаково временно ориентированными. Из предложения п. 5 видно, что для них (l₁, l₂) > 0. Вообразим двух близнецов-наблюдателей: один инерциален и движется по своей мировой линии от точки 0 до точки l₁ + l₂, другой доходит до той же точки от начала отсчета, двигаясь сначала инерциально от 0 до l₁ и затем от l₁ до l₁ + l₂: вблизи нуля и вблизи l₁ он включает двигатели своего космического корабля, чтобы сначала улететь от брата, а затем снова вернуться к нему. Согласно следствию п. 6 собственное время, протекшее для путешествующего брата, будет строго меньше времени, протекшего по часам домоседа.

8. Множитель Лоренца. Если l₁ и l₂ времениподобны и одинаково временно ориентированы, то по предложению п. 5 , и мы не можем интерпретировать эту величину как косинус угла. Чтобы понять, что она собой представляет, снова прибегнем к физической интерпретации.

Пусть | l₁ | = 1, | l₂ | = 1; в частности, инерциальный наблюдатель l₁ прожил единицу собственного времени с момента начала отсчета. В точке l₁ физическое пространство одновременных событий для него есть . Мировая линия наблюдателя Rl₂ пересекает это пространство в точке xl₂, где x находится из условия

(xl₂ - l₁, l₁) = 0,

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-