5. Предложение. Пусть . Тогда

Равенство достигается тогда и только тогда, когда l₁, l₂ линейно зависимы.

Доказательство. Прежде всего проверим, что квадратный трехчлен (tl₁ + l₂, tl₁ + l₂) всегда имеет вещественный корень t₀. В матричной реализации условие (l₂, l₂) > 0 означает, что det l₂ > 0, т. е. что l₂ имеет вещественные характеристические корни одного знака, скажем, (+1 или -1). Аналогично, пусть - знак собственных значений l₁. Тогда при матрица tl₁ + l₂ имеет собственные значения, примерно пропорциональные собственные значения l₁ (т. к. l₁ + t ^-1/2 стремится к l₁), и их знак будет , а при t = 0 матрица 0t₁ + l₂ = l₂ имеет собственные значения знака . Следовательно, при изменении t от 0 до собственные значения tl₁ + l₂ проходят через нуль, и det(tl₁ + l₂) обращается в нуль. Значит, дискриминант этого трехчлена неотрицателен, так что

Если он равен нулю, то некоторое значение является двукратным корнем, и матрица t₀l₁ + l₂, имея два нулевых собственных значения и будучи диагонализируемой (она эрмитова!), равна нулю. Поэтому l₁ и l₂ линейно зависимы.

6. Следствие ("неравенство треугольника в обратную сторону"). Если l₁, l₂ времениподобны и , то l₁ + l₂ времениподобен и

(где | l | = (l, l)^1/2), и равенство достигается тогда и только тогда, когда l₁, l₂ линейно зависимы.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-