Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Пространство Минковского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


5. Предложение. Пусть . Тогда

Равенство достигается тогда и только тогда, когда l1, l2 линейно зависимы.

Доказательство. Прежде всего проверим, что квадратный трехчлен (tl1 + l2, tl1 + l2) всегда имеет вещественный корень t0. В матричной реализации условие (l2, l2) > 0 означает, что det l2 > 0, т. е. что l2 имеет вещественные характеристические корни одного знака, скажем, (+1 или -1). Аналогично, пусть - знак собственных значений l1. Тогда при матрица tl1 + l2 имеет собственные значения, примерно пропорциональные собственные значения l1 (т. к. l1 + t -1/2 стремится к l1), и их знак будет , а при t = 0 матрица 0t1 + l2 = l2 имеет собственные значения знака . Следовательно, при изменении t от 0 до собственные значения tl1 + l2 проходят через нуль, и det(tl1 + l2) обращается в нуль. Значит, дискриминант этого трехчлена неотрицателен, так что

Если он равен нулю, то некоторое значение является двукратным корнем, и матрица t0l1 + l2, имея два нулевых собственных значения и будучи диагонализируемой (она эрмитова!), равна нулю. Поэтому l1 и l2 линейно зависимы.

6. Следствие ("неравенство треугольника в обратную сторону"). Если l1, l2 времениподобны и , то l1 + l2 времениподобен и

(где | l | = (l, l)1/2), и равенство достигается тогда и только тогда, когда l1, l2 линейно зависимы.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник