Геометрия пространств со скалярным произведением / Пространство Минковского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
13. Евклидовы повороты и бусты. Пусть ![](Math/o012114.jpg) ![](Math/o022114.jpg) - два одинаково временно ориентированных времениподобных вектора длины единица, ![](Math/o012115.jpg) - ортогональные дополнения к ним. Имеется стандартное преобразование Лоренца из , переводящее e0 в , которое в физической литературе называется бустом. При ![](Math/o012117.jpg) это - тождественное преобразование. При ![](Math/o012118.jpg) оно определяется так: рассмотрим плоскость ![](Math/o012119.jpg) ![](Math/o022119.jpg) . Она содержит e0 и . Сигнатура метрики Минковского на ней равна (1, 1). Поэтому существует пара единичных пространственноподобных векторов ![](Math/o012120.jpg) ![](Math/o022120.jpg) ![](Math/o032120.jpg) ![](Math/o042120.jpg) , ортогональных к e0 и соответственно. Буст оставляет на месте все векторы из ![](Math/o012121.jpg) ![](Math/o022121.jpg) и переводит e0 в , e1 в соответственно. Чтобы вычислить элементы матрицы перехода ![](Math/o012123.jpg) ![](Math/o022123.jpg) ![](Math/o032123.jpg) ![](Math/o042123.jpg) ![](Math/o052123.jpg) ![](Math/o062123.jpg) , заметим прежде всего, что ![](Math/o012124.jpg) ![](Math/o022124.jpg) ![](Math/o032124.jpg) ![](Math/o042124.jpg) , где v - скорость относительно удаления инерциальных наблюдателей, отвечающих e0 и .
Далее, матрицы Грама {e0, e1} и ![](Math/o012125.jpg) суть ![](Math/o012126.jpg) , поэтому
![](Math/o012127.jpg) ![](Math/o022127.jpg) ![](Math/o032127.jpg) ![](Math/o042127.jpg) ![](Math/o052127.jpg) ![](Math/o062127.jpg) ![](Math/o072127.jpg) ![](Math/o082127.jpg) ![](Math/o092127.jpg)
Из первого уравнения, зная a, находим ![](Math/o012128.jpg) ![](Math/o022128.jpg) . Добавляя сюда условие, что определитель буста ad - bc равен единице, получаем d = a, c = b. Окончательно, матрица буста в базисе {e0, e1, e2, e3}, где {e2, e3} - ортонормированный базис ![](Math/o012129.jpg) ![](Math/o022129.jpg) , имеет вид
![](Math/o012130.jpg) ![](Math/o022130.jpg) ![](Math/o032130.jpg) ![](Math/o042130.jpg) ![](Math/o052130.jpg) ![](Math/o062130.jpg)
или в терминах пространственно-временных координат
![](Math/o012131.jpg) ![](Math/o022131.jpg) ![](Math/o032131.jpg) ![](Math/o042131.jpg) ![](Math/o052131.jpg) ![](Math/o062131.jpg) ![](Math/o072131.jpg) ![](Math/o082131.jpg) ![](Math/o092131.jpg) ![](Math/o102131.jpg) ![](Math/o112131.jpg) ![](Math/o122131.jpg)
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-
|