[an error occurred while processing the directive]
   Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Пространство Минковского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Доказательство. Очевидно, что s(V)l линейно по l и сохраняет квадраты длин: . Поэтому . Так как группа SL(2, C) связна, любой ее элемент можно непрерывно деформировать в единичный, оставаясь внутри SL(2, C), - преобразование Лоренца s(V) можно непрерывно деформировать в тождественное, так что . Поскольку s(id) = id и s(V1V2) = s(V1)s(V2), s является гомоморфизмом групп. Если для всех , то, в частности, , где - матрицы Паули. Условие означает, что V унитарна; после этого условия означает, что : это было доказано в п. 12. Таким образом, .

Осталось установить, что s сюръективен. Пусть - преобразование Лоренца из , переводящее ортонормированный базис {ei} в . Метрики на , отвечающие e0 и , определены, т. к. собственные значения как e0, так и имеют одинаковый знак, потому что . Из следует, что эти метрики одновременно положительно или отрицательно определены. Действительно, выше мы убедились, что соединяющий их отрезок , целиком состоит из времениподобных векторов. Отсюда уже вытекает существование такой матрицы , что s(V) переводит e0 в , т. е. , где e0 и отождествлены с их матрицами Грама. Действительно, V - это матрица изометрии с ; априори ее определитель может быть равен -1, но это противоречило бы возможности соединить V с E2 в SL(2, C) с помощью деформации Vq, где - соответствующая деформация в .

Итак, s(V) переводит e0 в . Дальше остается показать, что евклидов поворот {s(V)e1, s(V)e2, s(V)e3} в можно осуществить с помощью s(U), где и s(U) оставляет e0 на месте. Можно считать, что представлен матрицей в базисе {h1, h2}. Тогда мы должны выбрать U унитарной с условием для i = 1, 2, 3. Это можно сделать по теореме п. 12, т. к. базисы {s(V)ei} и , i = 1, 2, 3, в ортонормированы и одинаково ориентированы. Доказательство окончено.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник