Важный пример линейного условия дает следующая конструкция.

9. Двойственное линейное пространство. Пусть L - линейное пространство над . Рассмотрим сначала линейное пространство F(L) всех функций над L со значениями в . Назовем теперь функцию f F(L) линейной (иногда "линейный функционал"), если она удовлетворяет условиям

f(l₁ + l₂) = f(l₁) + f(l₂), f(al) = af(l)

l, l₁, l₂ L, a . Индукцией по числу слагаемых отсюда получаем, что

Утверждаем, что линейные функции образуют линейное подпространство в F(L), или "условие линейности является линейным условием". В самом деле, если f, f₁ и f₂ линейны, то

(f₁ + f₂)(l₁ + l₂) = f₁(l₁ + l₂) + f₂(l₁ + l₂) = f₁(l₁) + f₁(l₂) + f₂(l₁) + f₂(l₂) = (f₁ + f₂)(l₁) + (f₁ + f₂)(l₂).

(Здесь последовательно используются: правило сложения функций, линейность f₁ и f₂, коммутативность и ассоциативность сложения в поле и опять правило сложения функций.) Аналогично,

(af)(l₁ + l₂) = a[f(l₁ + l₂)] = a[f(l₁) + f(l₂)] = a[f(l₁)] + a[f(l₂)] = (af)(l₁) + (af)(l₂).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-