Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Линейные пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Важный пример линейного условия дает следующая конструкция.

9. Двойственное линейное пространство. Пусть L - линейное пространство над . Рассмотрим сначала линейное пространство F(L) всех функций над L со значениями в . Назовем теперь функцию f F(L) линейной (иногда "линейный функционал"), если она удовлетворяет условиям

f(l1 + l2) = f(l1) + f(l2), f(al) = af(l)

l, l1, l2 L, a . Индукцией по числу слагаемых отсюда получаем, что

Утверждаем, что линейные функции образуют линейное подпространство в F(L), или "условие линейности является линейным условием". В самом деле, если f, f1 и f2 линейны, то

(f1 + f2)(l1 + l2) = f1(l1 + l2) + f2(l1 + l2) = f1(l1) + f1(l2) + f2(l1) + f2(l2) = (f1 + f2)(l1) + (f1 + f2)(l2).

(Здесь последовательно используются: правило сложения функций, линейность f1 и f2, коммутативность и ассоциативность сложения в поле и опять правило сложения функций.) Аналогично,

(af)(l1 + l2) = a[f(l1 + l2)] = a[f(l1) + f(l2)] = a[f(l1)] + a[f(l2)] = (af)(l1) + (af)(l2).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник