Геометрия пространств со скалярным произведением / Алгебры Клиффорда / 1 2 3 4 5 6 7 8
б) Пусть - любое -линейное отображение L в -алгебру D, для которого для всех . Тогда существует единственный гомоморфизм -алгебр такой, что . В частности, C(L) определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. а) Выберем в L ортогональный базис {e1, ..., en}, (ei, ei) = ai. По определению, в C(L) должны выполняться соотношения
Второе из них следует из того, что . Разложив элементы по базису {ei} и пользуясь тем, что умножение в L -линейно по каждому из сомножителей (это следует из того, что лежит в центре), мы можем представить любое произведение в виде линейной комбинации одночленов относительно . Заменив на ai и при i > j на , мы можем привести любой одночлен к виду , где , i1 < i2 < ... < im. Дальнейших соотношений между такими выражениями не видно; одночленов имеется 2m (включая тривиальный одночлен 1 при m = 0).
План доказательства состоит в том, чтобы сделать строгими эти наводящие соображения, действуя более формально.
-1-2-3-4-5-6-7-8-
|