Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Функции линейных операторов / 1 2 3 4


6. Теорема. Отображение exp переводит gl(n, ), sl(n, ), o(n, ), u(n), su(n) в GL(n, ), SL(n, ), SO(n, ), U(n), SU(n) соответственно.

Доказательство. Пространство gl(n, ) переходит в GL(n, ), так как согласно следствию п. 4 матрицы exp A обратимы. Если Tr A = 0, то det exp A = 1, как было доказано в предыдущем пункте. Из условия A + At = 0 следует, что (exp A)(exp A)t = 1, а из условия следует, что . Это завершает доказательство.

7. Замечание. Во всех случаях образ exp покрывает некоторую окрестность единицы соответствующей группы. Для доказательства можно определить логарифм операторов f с условием обычной формулой и показать, что f = exp(log f).

Однако в целом отображения exp не сюръективны. Например, не существует матрицы , для которой . В самом деле, A не может быть диагонализируемой, иначе exp A была бы диагонализируемой. Значит, собственные значения A совпадают, а так как след A равен нулю, эти собственные значения должны быть нулевыми. Но тогда собственные значения exp A равны 1, тогда как собственные значения равны -1.


-1-2-3-4-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник