Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Функции линейных операторов / 1 2 3 4


в) Назовем экспонентой ограниченного оператора f оператор

Так как (см. теорему п. 11) и числовой ряд для экспоненты равномерно сходится на любом ограниченном множестве, функция exp(f) определена для любого ограниченного оператора f и непрерывна по f.

Например, ряд Тейлора для значения можно формально записать в виде . Чтобы эта запись приобрела точный смысл, нужно выбрать пространство бесконечно дифференцируемых функций с нормой и проверить сходимость в индуцированной норме.

Частный случай: exp(a id) = ea id (a - скаляр); exp(diag(a1, ..., an)) = diag(exp a1, ..., exp an).

Основное свойство числовой экспоненты: eaeb = ea+b, вообще говоря, нарушается для экспоненты операторов. Однако есть важный частный случай, когда оно выполнено:

3. Теорема. Если операторы коммутируют, т. е. fg = gf, то (exp f)(exp g) = exp(f + g).

Доказательство. Применяя формулу бинома Ньютона и пользуясь возможностью переставлять члены абсолютно сходящегося ряда, получаем

Коммутативность f и g используется в том месте, где (f + g)m разлагается по биному.


-1-2-3-4-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник