Поскольку минимум среднеквадратичного отклонения достигается тогда, когда является ортогональной проекцией f на подпространство, натянутое на e_i. Это означает, что коэффициенты должны находиться из системы n уравнений с n неизвестными

так называемой "нормальной системы". Ее определитель есть определитель матрицы Грама ((e_i, e_j)), где

Он отличен от нуля, так как предполагалось, что ранг исходной системы, т. е. системы векторов (e_i), равен n. Поэтому решение существует и единственно.

Вернемся теперь к теме "измерения в евклидовом пространстве".

9. n-мерный объем. На одномерном евклидовом пространстве простейшим фигурам - отрезкам и их конечным объединениям - можно поставить в соответствие длины и суммы длин. На евклидовой плоскости школьная геометрия учит измерять площади таких фигур, как прямоугольники, треугольники и, с некоторым трудом, круги. Обобщение этих понятий дает глубокая общая теория меры, естественное место которой не здесь. Ограничимся списком основных свойств и элементарными вычислениями, связанными со специальной мерой фигур в n-мерном евклидовом пространстве - их n-мерным объемом.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-