Так как Bⁿ(r) получается из Bⁿ(1) растяжением в r раз, имеем

volⁿBⁿ(r) = volⁿBⁿ(1)rⁿ.

Константа volⁿBⁿ(1) = b_n может быть вычислена лишь аналитическими средствами. Рассекая (n + 1)-мерный шар n-мерными линейными подмногообразиями, ортогональными к некоторому направлению, получим индуктивную формулу

Разумеется, .

13. n-мерный эллипсоид с полуосями r₁, ..., r_n. Он задается в ортогональных координатах уравнениями

Поскольку он получается из Bⁿ(1) растяжениями в r_i раз вдоль i-й полуоси, его объем равен b_nr₁ ... r_n.

14. Одно свойство n-мерного объема. Оно состоит в том, что при очень больших n "объем n-мерной фигуры сосредоточен вблизи ее поверхности". Например, объем шарового кольца между сферами радиуса 1 и равен , что при фиксированном сколь угодно малом , но растущем n стремится к b_n. Двадцатимерный арбуз радиуса 20 см с толщиной корки 1 см чуть ли не на две трети состоит из корки:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-