Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Евклидовы пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


11. Параллелепипед со сторонами {l1, ..., ln}. Это множество . Покажем, что его объем равен , где G = ((li, lj)) - матрица Грама сторон. В самом деле, если {l1, ..., ln} линейно зависимы, то соответствующий параллелепипед лежит в подпространстве размерности < dim L и его n-мерный объем равен нулю по замечанию в п. 9. В то же время матрица G вырождена.

Поэтому остается разобрать случай, когда {l1, ..., ln} линейно независимы. Пусть {e1, ..., en} - ортонормированный базис в L, а f - линейное отображение , переводящее ei в li, i = 1, ..., n. Если A - матрица этого отображения в базисе {ei}:

(l1, ..., ln) = (e1, ..., en)A,

то матрица Грама {li} равна AtA, так как матрица Грама {ei} единичная. Следовательно,

С другой стороны, | det A | = | det f |, и f переводит единичный куб в наш параллелепипед. В силу свойства г) из п. 9 объем параллелепипеда равен | det f |, что завершает доказательство.

12. n-мерный шар радиуса r. Это множество векторов

или, в ортогональных координатах,


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник