Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Геометрия пространств со скалярным произведением / Евклидовы пространства / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


Евклидовы пространства


1. Определение. Евклидовым пространством называется конечномерное вещественное линейное пространство L с симметричным положительно определенным скалярным произведением.

Будем писать (l, m) вместо g(l, m) и | l | вместо (l, l)1/2; число | l | будем называть длиной вектора l.

Из результатов, доказанных в разделах Теоремы классификации и Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены, следует, что:

а) во всяком евклидовом пространстве есть ортонормированный базис, все векторы которого имеют длину 1;

б) поэтому оно изометрично координатному евклидову пространству Rn (n = dim L), в котором

Ключом ко многим свойствам евклидова пространства является многократно переоткрывавшееся неравенство Коши-Буняковского-Шварца:

2. Предложение. Для любых имеем

Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы l1, l2 линейно зависимы.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник