Линейная алгебра и геометрия
   Справочник формул




Прикладная математика
основные математические формулы











     Линейные пространства и линейные отображения / Категорные свойства линейных пространств / 1 2 3 4 5


3. Теорема о точности функтора . Пусть - точная тройка конечномерных линейных пространств, P - любое конечномерное пространство над тем же полем. Тогда как функтор отдельно по первому и второму аргументу индуцирует точные тройки линейных пространств:

а) ,

б) .

Доказательство. а) Напомним (см. пример г) п. 6), что i1 ставит в соответствие морфизму его композицию с , а j1 ставит в соответствие морфизму его композицию с . Отображение i1 инъективно, потому что i - инъекция, так что если композиция нулевая, то - нулевой морфизм. Отображение j1 сюръективно в силу утверждения а) теоремы п. 2: любой морфизм можно поднять до морфизма , композиция которого с j дает исходный морфизм. Композиция j1i1 нулевая: она переводит стрелку в стрелку , которая является композицией , но ji = 0.

Мы проверили, что последовательность

а) является комплексом, и остается установить ее точность в среднем члене, т. е. Ker j1 = Im i1. Мы уже знаем, что . Для доказательства обратного включения заметим, что если стрелка лежит в ядре j1, то композиция этой стрелки с равна нулю, а потому образ P в M лежит в ядре j. Но ядро j совпадает с образом в силу точности исходной тройки. Значит, P отображается в подпространство i), и потому стрелку можно поднять до стрелки , композиция которой с i даст исходную стрелку. Это и означает, что последняя лежит в образе i1.


-1-2-3-4-5-


   a
   б
   в
   г
   д
   е
   ж
   з
   и
   к
   л
   м
   н
   о
   п
   р
   с
   т
   у
   ф
   х
   ц
   ч
   ш
   щ
   э
   ю
   я
© 2007-2008 ФиПМ

Линейная алгебра и геометрия
математические формулы, он-лайн справочник