Аффинная и проективная геометрия / Аффинные группы / 1 2 3 4 5 6 7
Аффинные группы
1. Пусть A - аффинное пространство над полем  . Множество аффинных биективных отображений   в силу предложения п. 10 образует группу, которую будем называть аффинной группой и обозначать Aff A.
Ее отображение    , где GL(L) - группа линейных автоморфизмов ассоциированного векторного пространства, является гомоморфизмом. Он сюръективен по предложению п. 11 и имеет своим ядром группу сдвигов   по следствию п. 13. Эта группа сдвигов изоморфна аддитивной группе пространства L по предложению п. 4. Таким образом, Aff A есть расширение группы GL(L) с помощью аддитивной группы L, которая является нормальным делителем в Aff A.
Это расширение является полупрямым произведением GL(L) и L. Чтобы убедиться в этом, фиксируем любую точку  и рассмотрим подгруппу   , состоящую из отображений, оставляющих a на месте. По предложению п. 11 каждый элемент  однозначно определяется своей линейной частью Df, и Df можно выбирать как угодно. Следовательно, D индуцирует изоморфизм Ga с GL(L). Для любого отображения  можно найти единственное отображение   с той же линейной частью, и   для подходящего  по следствию п. 13. Фиксировав a, будем записывать  в виде пары [g; l], где     . Правила умножения в группе Aff A на языке таких пар имеют следующий вид.
2. Предложение. Имеем
[g1; l1][g2; l2] = [g1g2; g1(l2) + l1],
[g; l] -1 = [g -1; -g -1(l)].
-1-2-3-4-5-6-7-
|